Teoremas da incompletude de Gödel
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Teoremas da incompletude de Gödel demonstrar que, em matemática , é impossível provartudo.
Mais especificamente, o primeiro teorema da incompletude afirma que, em qualquer formulação consistente da teoria dos números que é 'rica o suficiente', existem afirmações que não podem ser provadas ou refutadas dentro dessa formulação. O segundo teorema da incompletude afirma que a teoria dos números não pode ser usada para provar sua própria consistência.
O teorema se aplica também a qualquerteoriaque inclui a teoria dos números, desde que a teoria seja consistente e desde que a teoria seja expressa como é usual em matemática, seguindo regras como a de que axiomas e prova os procedimentos são determinados desde o início e as expressões são de comprimento finito. Um exemplo importante dessa teoria mais ampla em matemática é a teoria dos conjuntos, pois na teoria dos conjuntos pode-se definir os números e as operações com números, e provar os princípios comuns da aritmética.
Conteúdo
Ideia de prova
Kurt Gödel (1906-1978) demonstrou isso codificando o paradoxo do mentiroso na própria teoria dos números, criando uma declaração matemática bem formada que se referia aem sicomo uma declaração improvável. Pela suposição de consistência, sabemos que esta afirmação é verdadeira (pois, se fosse falsa, então poderia ser provada, o que seria inconsistente). Mas em virtude de ser verdadeiro, não pode ser provado (pois é o que diz). O elo final na cadeia de raciocínio é a noção de 'rico o suficiente', o que significa que um sistema contém formalismo suficiente para ser capaz de descrever uma declaração que se refere a si mesma como uma declaração improvável. Isso é conseguido, em parte, mostrando que (1) afirmações em aritmética podem ser associadas a números em aritmética e (2) uma prova em aritmética pode ser mostrada como correspondendo a cálculos aritméticos nesses números associados.
No caso de você achar que pode contornar isso adicionando esta afirmação verdadeira (mas improvável) como um axioma adicional na aritmética (afinal, você sabe que é verdade), o que acontece é que a prova muda de modo que gera mais uma afirmação que se refere à sua própria impossibilidade de prova a partir do novo e ampliado conjunto de axiomas.
Equívocos comuns
Nem toda teoria matemática é necessariamente incompleta
A 'aritmética' a que o teorema se refere é mais do que apenas adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. Também inclui afirmações sobre 'todos os números' ou 'alguns números', por exemplo, afirmações sobre números primos; 'não há maior número primo.' E há partes da aritmética que podem ser comprovadas como completas (há uma parte que exclui a multiplicação), bem como outras áreas interessantes e complicadas da matemática que foram comprovadas como completas e consistentes. Portanto, deve-se ter cuidado ao dizer que 'aritmética' ou 'matemática' está incompleta. Algumas teorias matemáticas são completas, por exemplo, geometria euclidiana; sua completude não contradiz o teorema de Gödel porque a geometria não contém a teoria dos números. Além disso, há até mesmo uma prova de que a aritmética (no sentido dos teoremas da incompletude) é consistente; mas essa prova depende de métodos que vão além dessa aritmética.
'Verdadeiro, mas improvável'?
As pessoas tendem a se confundir com a afirmação de que a declaração de Gödel é 'verdadeira, mas improvável'. Em particular, qual o teorema de Gödelabsolutamente definitivamente certamente não dizé aquelehumanospossua algum tipo de superior não formalizável intuição que lhes permite ver verdades matemáticas que não podem ser capturadas por 'mera matemática' ou 'mera lógica'.
Na lógica de primeira ordem, a de GödelcompletudeO teorema diz que toda fórmula que é logicamente válida - grosso modo, verdadeira em todo modelo - é sintaticamente demonstrável. Assim, toda fórmula que é necessariamente verdadeira em todo modelo de aritmética de primeira ordem pode ser demonstrada a partir dos axiomas da aritmética de primeira ordem. E a declaração de Gödel é, de fato,não é verdade em todos os modelos de aritmética de primeira ordem: é verdadeiro em alguns modelos e falso em outros.
O problema é que a aritmética de primeira ordem não é poderosa o suficiente para capturar uma definição específica de números naturais e restringi-la apenas aomodelo padrãoda aritmética, os números naturais comuns que todos conhecemos e amamos (0, 1, 2, ...). A afirmação de Gödel passa a ser verdadeira no modelo padrão, mas em modelos não padrão, além dos números padrão, existem outros números não alcançáveis incrementando repetidamente a partir de 0, cadeias de números extras que se estendem infinitamente em ambas as direções (semelhante a , mas diferente de, números inteiros). Em modelos não padronizados, existem codificações Gödelianas de provas que, em geral, não mapeiam adequadamente para provas lógicas válidas - também permite cadeias infinitas que decodificam em algo como 'a afirmação de Gödel é verdadeira, porque a afirmação de não-não-Gödel é verdade, porque a afirmação de não-não-não-não-Gödel é verdadeira, ad infinitum '. Portanto, existem modelos não padronizados onde a afirmação de Gödel é, de fato, falsa: eles têm 'codificações de prova' que a lógica de primeira ordem real não aceitaria como provas.
Ao contrário da lógica de primeira ordem, a lógica de segunda ordem não tem um análogo do teorema da completude. Em particular, embora a aritmética de segunda ordem seja poderosa o suficiente para descrever apenas o modelo padrão da aritmética e eliminar todos os números não padrão, existem fórmulas que são verdadeiras, mas não podem ser provadas a partir dos axiomas da aritmética de segunda ordem usando a lógica de segunda ordem . Mas então, os humanos também não podem prová-los; eles não são mais poderosos a este respeito do quecomputadorprogramas ou qualquer outro processo formalizado.
Deus e outros 'incognoscíveis'
Algumas pessoas ficam tentadas a usar o teorema de Gödel como umsaída de emergênciapor suas próprias teorias preferidas que eles consideram 'verdadeiras, mas improváveis'. Matemática não pode provar tudo, portanto, a discussão lógica de Deus é fútil, então aí! No entanto, o teorema de Gödel tem uma formulação matemática precisa, assim como os conceitos matemáticos de lógicaverdadee provabilidade; para até mesmo considerar a verdade ou comprovação de uma afirmação, ela primeiro precisa ser formalizada na linguagem da lógica matemática. 'Deus', como uma ideia fundamentada em nossos mapas imprecisos domundo real, claramente não é uma fórmula lógica bem definida, cuja verdade ou falsidade seja mesmo significativa para considerar como uma consequência de teorias puramente matemáticas. Este argumento cai em nem mesmo errado território.
